半円と接する円の中心の軌跡の求め方：x²+y²=9の問題解説

この問題は、半円と接する円の中心の軌跡を求める問題です。具体的には、方程式 x²+y²=9 と y≧0 の半円と接する円の中心がどのように動くかを求める問題です。以下では、問題を解くための手順を解説します。

1. 問題の設定

与えられた式 x²+y²=9 は半径3の円の方程式です。y≧0 という条件から、この半円は x 軸より上の部分に限定されます。この円と接する円の中心が描く軌跡を求めるという問題です。

さらに、接する円の中心は、半円と接する点を中心とする円の半径が求められることになります。この時、円の中心がどのように動くかを追うことになります。

円が半円と接するためには、円の中心と半円の円周との距離が、接する円の半径に等しくなければなりません。具体的には、接する円の中心を (h,k) とした場合、接する点が円周上に位置するため、(h,k) と半円の円周との距離を求めます。

円の方程式 x² + y² = 9 の中心は (0,0)、半径は 3 です。そして、接する円の中心がどのように動くかについて考えます。接する円の半径が決まれば、その中心がどのように動くかがわかります。

円の中心を求めるために、接する円の半径を r として、接点での距離が半径に等しくなる条件を考えます。接する点の位置は、接する円と半円が触れる点です。

接する円の中心は、与えられた半円の円周に沿って、常に一定の距離で移動するため、その軌跡を求める問題に変わります。接する円の半径 r を求めると、その中心の軌跡が決まります。

最終的に、接する円の中心の軌跡を求めるためには、問題の条件に合わせて、接する円の半径とその中心の動きを解析します。この軌跡は、数学的な解析を通じて解くことができます。

また、接する円の中心がどのように動くかを理解することは、幾何学や数学的な視点での洞察を深めるために有益です。解答においては、視覚的に接する円の中心がどのように変化するかを描くことが有効です。

この問題では、半円と接する円の中心の軌跡を求めることが求められます。接する円の半径を求め、その中心がどのように動くかを解析することによって、問題の答えにたどり着くことができます。幾何学的な視点で問題を解くことで、数学的な理解を深めることができます。