「lim x→+0 logx/x²＝－∞」という式を理解するためには、まずこの式に登場する各関数の挙動を理解することが重要です。この式は、xが0に近づくときの極限を求めるものですが、特にlogxという関数がどのように挙動するかがポイントになります。
logxの性質
logxはxが1より小さくなると負の値をとり、xが0に近づくとマイナス無限大に発散します。つまり、logxはxが0に近づくほど、非常に大きな負の値になります。これが式の中で重要な役割を果たしています。
x²の挙動
x²はxが0に近づくと0に近づきますが、常に正の値をとります。したがって、x²の値は0に近づくと急速に小さくなりますが、0にはならず、非常に小さい正の値を維持します。この挙動がlogxと組み合わさることで、全体の式がどうなるかがわかります。
式全体の挙動
式lim x→+0 logx/x²において、分子のlogxは負の無限大に向かい、分母のx²は正の0に向かいます。分子は急激にマイナスの無限大に向かい、分母は非常に小さな正の数になるため、結果的に式全体はマイナス無限大に発散します。
なぜマイナスになるのか
分子のlogxは負の無限大に発散しますが、分母のx²は正の値で、xが0に近づくにつれて非常に小さくなります。そのため、分子が急激に小さくなる分母に比べて圧倒的に大きく負の無限大に近づき、最終的に式全体がマイナス無限大になるのです。
まとめ
lim x→+0 logx/x²＝－∞の式がなぜマイナス無限大になるのかを理解するためには、logxの性質とx²の挙動をしっかりと把握することが重要です。logxがxが0に近づくにつれて急激に負の無限大に向かう一方、x²は0に近づくものの常に正の値を維持するため、この2つの関数の挙動が組み合わさって最終的にマイナス無限大となるのです。
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