正n角形の頂点を表す複素数の配置について、例えば「1, z, z^2, …, z^(n-1) (z^n = 1)」という形で表現されることがよくあります。この並び順が反時計回りであると直感的に思いがちですが、実際にはどうなのでしょうか？この記事では、この並び順の意味とそれが反時計回りになる理由について詳しく解説します。
複素数とn乗根
まず、複素数の概念について簡単におさらいします。複素数zがn乗根であるというのは、z^n = 1となるような複素数zを求める問題です。このn乗根は、単位円上に等間隔で並ぶn個の点を表します。具体的には、zは単位円の上にあり、その角度は等間隔で分布しています。
反時計回りに並ぶ理由
「1, z, z^2, …, z^(n-1)」という並びは、複素数の指数形式によって表現され、実際には単位円上を反時計回りに進む点です。これらは、z = e^(2πi/n)という形で表すことができ、これはn個のn乗根の一つで、各点は2π/nずつ角度が増えていきます。反時計回りに進む理由は、zがe^(iθ)の形で表され、θが増加する方向が反時計回りになるためです。
数式による確認
具体的な例を考えてみましょう。例えば、n = 3の場合、zはe^(2πi/3)であり、z, z^2, z^3と進むごとに、単位円上で反時計回りに60度ずつ角度が増加します。このように、複素数のn乗根は常に反時計回りに並んでいます。
まとめ：反時計回りの理由
複素数のn乗根は、単位円上に等間隔で配置され、その並びは必ず反時計回りになります。これが直感的にわかるのは、複素数の指数表示と、その角度が反時計回りに増加していく性質からです。したがって、1, z, z^2, …, z^(n-1)は、n乗根が表す順番通りに反時計回りに並んでいるということがわかります。
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