今回は、与えられた二次方程式 f(x) = ax² – 2(a+1)x + 2 に対して、正の相異なる2つの実数解を持つためのaの範囲を求める方法について解説します。
1. 二次方程式の解の条件
まず、一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解の判別式 D（ディスクリミナント）は次の式で求められます。
D = b² – 4ac
解が実数解であるためには、この判別式が0以上である必要があります。また、2つの異なる実数解があるためには、判別式 D が0より大きい必要があります。
2. 方程式の判別式を求める
与えられた方程式 f(x) = ax² – 2(a+1)x + 2 を比較して、a、b、cに相当する係数を求めます。
- a = a
- b = -2(a+1)
- c = 2
この値を使って、判別式 D を計算します。
D = [-2(a+1)]² – 4(a)(2)
これを展開すると。
D = 4(a+1)² – 8a
さらに展開し、整理します。
D = 4(a² + 2a + 1) – 8a = 4a² + 8a + 4 – 8a = 4a² + 4
3. 判別式 D が0より大きい条件
2つの異なる実数解があるためには、判別式 D が0より大きい必要があります。したがって、次の不等式が成り立ちます。
4a² + 4 > 0
この不等式を解くと。
a² > -1
これは必ず成り立つ不等式です。すべての実数aに対してa²は常に0以上なので、この条件は常に成立します。
4. 結論
したがって、与えられた方程式 f(x) = ax² – 2(a+1)x + 2 に対して、解が2つの異なる実数解を持つためのaの範囲に制限はありません。どんな実数aでも、正の相異なる実数解を持つことができます。
このように、解の条件や判別式を利用することで、二次方程式の解の性質を簡単に求めることができます。
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