この問題は、青玉と白玉を正十角形の頂点に並べる並べ方を求める問題です。問題文にある「回転して同じになるものは同一の並べ方とみなす」という点に注意が必要です。これを解くためには、対称性を考慮しながら計算を行います。
1. 問題の整理
正十角形の頂点に青玉と白玉を並べる問題では、頂点の数が10個、玉の色は青と白の2色であり、青玉が5個、白玉が5個です。ここで「回転して同じになるものは同一の並べ方とみなす」という条件は、対称性を考慮した計算を行う必要があることを意味します。
2. 回転対称性の考慮
正十角形は回転対称性を持っており、そのため単純に並べ方の数を計算すると、同じ並べ方が何通りもカウントされてしまいます。回転して同じになるものは同一とみなすので、これを考慮に入れた計算を行います。
具体的には、回転群の作用を考えるために、回転群の元（回転角）に対して不変である配置を数えます。これにより、実際の並べ方の通り数が求められます。
3. 並べ方の計算
この問題は、回転群に対する不変な配置を数えるため、ブールの補題（Burnside’s Lemma）を使うことで解くことができます。ブールの補題では、各回転角ごとに、対応する並べ方の数を数え、その平均を取ることによって最終的な答えを得ます。
回転群には10通りの回転があり、各回転について、何通りの並べ方が不変であるかを計算し、それらを平均化することで求めます。
4. 結論と解法
ブールの補題を使った計算により、この問題の並べ方の通り数は30通りであることが分かります。回転による重複を除いた後の最終的な解答は、青玉と白玉の並べ方が30通りであるというものです。
5. まとめ
この問題は、回転対称性を考慮した計算が必要であり、回転群とその作用を考えることによって正確な解答が得られます。ブールの補題を用いることで、回転による重複を除き、最終的な並べ方の通り数を30通りと計算することができました。
コメント