数列の不等式の証明：An+1=1+√(1+An) の条件を満たすときの3-An ≤ (1/3)^(n-1) × (3-A1) の証明

この問題では、与えられた数列の不等式を証明するために、まず数列の定義と不等式を整理します。数列{An}が満たす条件は次の通りです。

さて、この問題を解くために必要な手順について説明します。

1. 数列の定義と与えられた条件

まず、数列{An}が与えられた形、すなわち。

An+1 = 1 + √(1 + An) という式が成立します。この式において、Anは前の項に基づいて次の項が決まる再帰的な関係を持ちます。

次に、この数列における「3-An」が満たすべき条件について考えます。与えられた不等式は。

3 – An ≤ (1/3)^(n-1) × (3 – A1) です。

与えられた不等式を証明するために、数列の構造をよく理解することが重要です。実際には、この不等式が成り立つために、Anの各項が次第に小さくなることが求められます。そのためには、数列の性質を明確にし、解の挙動を分析することが不可欠です。

与えられた不等式が成立するためには、等号が成り立つ場合の条件も示さなければなりません。具体的には、等号が成り立つ時点で数列の挙動がどうなるかを確認し、等号成立の条件を明示することが重要です。

この問題を解くには、数列の再帰的な性質を使って不等式の条件を明確にし、その後に等号成立の場合について証明を加えることが必要です。