lim x→0 1/(1-cosx) の極限問題の解法

今回の問題では、極限の計算について扱います。具体的には、lim x→0 1/(1-cosx) の解法です。また、条件として lim x→0 1/sinx=1 が与えられています。こちらを基にして、どう解くかを解説します。

1. まずは式を整理してみましょう

与えられた問題は、lim x→0 1/(1-cosx) です。これを解くためには、分母に含まれる cosx を適切に扱う必要があります。まずは以下の式を覚えておきましょう。

cosx – 1 は、x が0に近づくとき、x^2 に比例するという性質があります。具体的には、cosx – 1 = – (x^2/2) + O(x^4) という近似式を使うことができます。

次に、cosx – 1 の近似式を用いて、元の式を変形していきます。lim x→0 1/(1-cosx) の分母に cosx – 1 が含まれているので、この近似を適用してみましょう。

1 – cosx ≈ (x^2)/2 となるので、1/(1-cosx) ≈ 2/x^2 という形に変形できます。よって、この極限式は lim x→0 2/x^2 と簡単に計算できるようになります。

ここまでの計算で、lim x→0 1/(1-cosx) = ∞ という結果が得られます。x→0 のとき、1/(1-cosx) は無限大に発散するということです。

この問題は、xが0に近づく際に cosx – 1 が x^2 に比例することを利用して解きました。近似式を使うことで、極限を計算しやすくすることができました。

問題で与えられていた lim x→0 1/sinx=1 という条件は、sinx の近似式が x に比例することを意味していますが、この問題では直接的な使用はありませんでした。しかし、同じように近似を使うことで、計算がスムーズに進むことが理解できたでしょう。