数学：f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x) の極値を持たないためのaの範囲について

この問題は、関数f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x) が極値を持たないためのaの値の範囲を求めるものです。また、答えに等号がつく理由についても解説します。

1. 極値を持たない条件とは

まず、関数が極値を持つためには、その導関数が0となる点を見つける必要があります。しかし、極値を持たない場合は、導関数が0となる点がないか、または導関数が0となる点で関数の挙動が変わらない場合です。

f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x)の導関数f'(x)を計算します。

f'(x) = a – sin(x) + cos(2x)

極値を持たないためには、f'(x) = 0 となる点が存在しない必要があります。つまり、f'(x) = a – sin(x) + cos(2x)が0になることを避ける必要があります。

この条件を満たすためには、aの値が特定の範囲にある必要があります。具体的な計算によって、aの範囲を導き出します。

問題における答えに等号がつくのは、f'(x) = 0 となる点がある場合、その点が極値を持たない条件を満たすからです。つまり、極値を持たない条件を求める過程で、等号が重要な役割を果たします。

この問題を解くためには、まず導関数を求め、次にその導関数が0にならないようなaの範囲を求めます。最終的に、等号がつく理由は極値を持たない条件を満たすために必要だからです。