不等式整理の問題: 2xsinαcosα-2(√3x+1)cos²α-√2cosα+√3x+2≧0 の解き方

三角関数を含む不等式の整理問題は、高校数学でもよく出題されるテーマです。今回の式を整理すると、指定された形に変形でき、ア〜カに入る数値を見つけることができます。この記事では、その過程をステップごとに解説します。

与えられた不等式

問題で与えられている不等式は次の通りです。

2xsinαcosα - 2(√3x + 1)cos²α - √2cosα + √3x + 2 ≧ 0

この式を x について整理し、指定の形に変形することを目指します。

xを含む項と定数項に分ける

まず、xを含む項とそうでない項に分けます。

2xsinαcosα - 2√3x cos²α - 2cos²α - √2cosα + √3x + 2

これを x に関する部分と定数部分に整理すると。

(2sinαcosα - 2√3cos²α + √3)x - (2cos²α + √2cosα - 2)

整理された形との対応

問題文の指定は。

(sinアα - √イcosウα)x - (エcos²α + √オcosα - カ) ≧ 0

これと比較すると以下の対応が得られます。

• 係数 2sinαcosα は sin2α なので、ア=2
• 項 -2√3cos²α + √3 は -√3(2cos²α - 1) = -√3cos2α なので、イ=3, ウ=2
• 定数部分 2cos²α + √2cosα - 2 と一致するので、エ=2, オ=2, カ=2

最終的な整理形

したがって、式は次のように整理されます。

(sin2α - √3cos2α)x - (2cos²α + √2cosα - 2) ≧ 0

答えの確認

最終的に、ア〜カに入る値は以下の通りです。

まとめ

与えられた不等式を整理すると、係数の変形に三角関数の2倍角の公式が使えることがわかりました。特に 2sinαcosα = sin2α、2cos²α - 1 = cos2α という恒等式を使うことでシンプルに表現できます。ア=2, イ=3, ウ=2, エ=2, オ=2, カ=2 が正しい答えとなります。