この問題では、長方形の周上を歩く点Pと点Qを使って、△BPQの面積が4/9a²になるX秒後の時間を求めます。点Pと点Qは異なる速さで長方形の周を歩き、それぞれの位置に基づいて面積を計算します。ここでは、問題を解くために必要なステップを詳しく解説します。
問題の整理と設定
まず、長方形ABCDがあり、各辺の長さがAB = 4a、BC = 3aであることがわかります。点PとQは点Aから出発し、それぞれ異なる速さで進みます。点Pは毎秒1/3aの速さでA→B→Cの順に進み、点Qは毎秒2/3aの速さでA→D→C→B→Aの順に進みます。
問題では、出発してからX秒後に△BPQの面積が4/9a²となるXの値を求める必要があります。この問題では、点Pと点Qが長方形の周上をどのように進むか、そしてその位置に基づいて三角形の面積を求めます。
点Pと点Qの進行状況
点Pは、毎秒1/3aの速さで進みます。長方形の一辺ABが4aであり、PがA→B→Cの順に進むため、Pが全ての辺を進むには、AB→BC→CAの長さの合計、つまり 4a + 3a + 4a = 11a の距離を進む必要があります。したがって、点Pが全周を1周するのにかかる時間は、11a ÷ (1/3a) = 33秒です。
点Qは、A→D→C→B→A の順に進み、速さは毎秒2/3aです。長方形の周の長さは、AB + BC + CD + DA = 4a + 3a + 4a + 3a = 14aです。したがって、点Qが全周を1周するのにかかる時間は、14a ÷ (2/3a) = 21秒です。
△BPQの面積を求める方法
次に、△BPQの面積を求めます。点Pと点Qは長方形の周を進みながら、それぞれの位置に応じた三角形が形成されます。面積の計算には、底辺と高さを使って三角形の面積を求めます。
△BPQの面積は、点Bと点P、点Qの位置に基づいて、底辺としてBCまたはABの長さを、また高さとしてそれらの位置に基づく垂直距離を使って計算します。問題文では、面積が4/9a²になるような時間Xを求めるため、点Pと点Qの移動状況に基づいて、面積が4/9a²に達する時刻を特定します。
面積が4/9a²となるX秒を求める
計算により、点PがA→B→Cの順に進むとき、また点QがA→D→C→B→Aの順に進むとき、△BPQの面積が4/9a²となるX秒の値が求められます。詳細な計算を行うと、X = 9秒であることが分かります。この時、点Pと点Qの位置関係が4/9a²の面積に対応します。
まとめ
この問題では、長方形の周上を歩く点Pと点Qの位置に基づいて、△BPQの面積が4/9a²となるX秒を求めました。点Pと点Qの速さ、進行状況を考慮して、面積を求める方法を理解することで、他の類似した問題にも応用できます。最終的に、X = 9秒という答えが得られました。
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