中学数学の問題で、関数 y = -x + 8 のグラフと交わる点や三角形の相似条件を使って、点Pの座標を求める問題を解説します。この問題は、座標平面上で幾何学的な要素を利用する重要な問題です。
問題の整理とグラフの確認
関数 y = -x + 8 のグラフは直線で、x軸との交点Aとy軸との交点Bを求めるところから始まります。まず、この直線がx軸、y軸と交わる点A、Bを求めます。
1. x軸との交点Aを求めるために、y = 0 を代入します。0 = -x + 8 → x = 8。したがって、点Aの座標は (8, 0) です。
2. y軸との交点Bを求めるために、x = 0 を代入します。y = -0 + 8 → y = 8。したがって、点Bの座標は (0, 8) です。
点Pと線分AB上の位置
次に、点Pは線分AB上にあります。点Pの座標は、線分AB上の任意の点なので、一般的に線分AB上の点Pは、点Aと点Bの座標を使って表せます。線分AB上の点Pの座標は、次のように表せます。
P = (x, y) = (8 – 8t, 8t) (ここで、t は 0 ≤ t ≤ 1 の範囲で変化します)
△BPQ = △COQ の相似条件
問題では、△BPQ と △COQ が相似であるとされています。相似な三角形の条件に従って、対応する辺の比が等しくなります。ここで、点Cの座標は (-6, 0)、点Qはy軸上の点なので、Qのx座標は0です。△BPQ と △COQ が相似であるため、対応する辺の比が等しくなるように t を求めます。
具体的には、△BPQ と △COQ の相似比から、次のような式が立てられます。
辺BP / 辺CO = PQ / OQ
これを計算していくと、t = 0.5 が求まります。
点Pの座標を求める
t = 0.5 を線分AB上の点Pの式に代入すると、点Pの座標は次のように求められます。
P = (8 – 8(0.5), 8(0.5)) = (4, 4)
したがって、点Pの座標は (4, 4) です。
まとめ
この問題では、関数 y = -x + 8 のグラフとx軸、y軸との交点を求め、点Pが線分AB上にあることを利用して、相似三角形の条件から点Pの座標を求めました。最終的に、点Pの座標は (4, 4) であることが分かりました。
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