この記事では、lim[x→1+0] logx / (x-1) の極限を求める方法を解説します。この問題はリミットと対数関数に関連する問題で、適切な解法を理解することが重要です。具体的な解法ステップを順を追って説明します。
問題の理解とリミットの設定
まず、問題をしっかりと理解しましょう。問題は次のように与えられています。
lim[x→1+0] logx / (x - 1)
これは、xが1に右から近づいていくときの、logx / (x - 1)の値を求める問題です。
リミットの性質と問題のアプローチ
リミット問題では、関数が特定の点に収束するかどうかを調べます。この問題では、logxの値がx = 1でゼロに近づくのに対し、x - 1はゼロに向かって小さくなります。このような形は、0/0の不定形を示しているので、リミットを求めるには適切な方法を使う必要があります。
ロピタルの定理を使った解法
この問題を解くためには、ロピタルの定理を使用するのが効果的です。ロピタルの定理は、0/0や∞/∞の不定形に対して使える方法で、分子と分母の導関数を求めて新しいリミットを計算します。
まず、f(x) = logxとg(x) = x - 1とおきます。すると、リミットは次のように表されます。
lim[x→1+0] logx / (x - 1) = lim[x→1+0] (d/dx logx) / (d/dx (x - 1))
ロピタルの定理を適用する
次に、それぞれの関数の導関数を求めます。f(x) = logxの導関数はf'(x) = 1/x、g(x) = x - 1の導関数はg'(x) = 1です。
したがって、リミットは次のように計算できます。
lim[x→1+0] logx / (x - 1) = lim[x→1+0] (1/x) / 1 = lim[x→1+0] 1/x
最終的な答えの導出
最後に、lim[x→1+0] 1/xを計算します。これは明らかに1で収束します。
したがって、最終的に次のような結果が得られます。
lim[x→1+0] logx / (x - 1) = 1
まとめ
今回の記事では、lim[x→1+0] logx / (x – 1) の極限を求める方法について、ロピタルの定理を使って解法を示しました。リミットを解く際には、0/0や∞/∞の不定形に対してロピタルの定理を使用することが有効です。この方法を覚えることで、同様のリミット問題に対してもスムーズに解けるようになるでしょう。
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