2次関数の最大値と最小値の差が1となる条件を求める方法【詳細解説】

この記事では、2次関数の最大値と最小値の差が1となる条件を求める方法について解説します。具体的な例を通して、この問題の解き方をわかりやすく説明します。

問題の確認

まず、与えられた2次関数の式は次の通りです。

Y = X² - 4X + a² - 3a + 4

ここで、aは正の定数で、0 ≦ X ≦ aの範囲における関数の最大値をM、最小値をmとします。そして、最大値と最小値の差が1になる条件を求める問題です。

まず、2次関数の最大値と最小値を求めるために、関数の頂点の位置を求める必要があります。2次関数の一般形は次のように表されます。

Y = Ax² + Bx + C

この関数の頂点のX座標は、次の公式で求めることができます。

X = -B / 2A

今回は、与えられた関数がY = X² - 4X + a² - 3a + 4ですので、A = 1, B = -4となります。このため、頂点のX座標は次のように計算できます。

X = -(-4) / (2 * 1) = 2

次に、X = 2の位置での関数の値を求めます。この値が最大値または最小値となります。また、X = aでの値も確認し、最大値と最小値を比較します。

関数にX = 2を代入してみましょう。

Y = 2² - 4(2) + a² - 3a + 4 = 4 - 8 + a² - 3a + 4 = a² - 3a

最大値Mと最小値mの差が1であるという条件を使って、aの値を求めます。このとき、関数の最大値と最小値を求めるためには、X = aでの値も考慮する必要があります。

X = aを代入すると、次のような式が得られます。

Y = a² - 4a + a² - 3a + 4 = 2a² - 7a + 4

最大値と最小値の差が1であるという条件を式に適用すると、最終的にaの値を求めることができます。

2次関数の最大値と最小値の差が1であるという条件を解くためには、関数の頂点の位置や範囲での関数の値を計算し、適切な方程式を立てることが重要です。今回は、与えられた関数を使って、aの値を求める方法を解説しました。正しい解法を理解し、練習することでより迅速に解けるようになるでしょう。