一定の割合で小さくなる正方形の面積の無限和を求める方法

「始め、324、256、196、144…」と続く数列の正方形の面積が一定の割合で小さくなっています。このような数列の無限和を求める方法について、この記事で詳しく解説します。

数列の特徴を理解する

まず、この数列の各項を確認しましょう。324、256、196、144… これらは全て正方形の面積です。すなわち、これらの数値はそれぞれ、18²、16²、14²、12² という具合に、各項が1つずつ小さくなっています。

この数列は、各項の差が一定であり、正方形の面積が減少していくという特徴を持っています。このような数列の無限和を求めるために、まずは数列の一般項を求める必要があります。

数列の一般項を求める

数列の一般項は、最初の項から一定の割合で減少していくため、等差数列の形式に近いことがわかります。具体的に、324（18²）からスタートして、次の項（256）は16²であり、次の項（196）は14²です。このように、項が2ずつ減少しています。

この数列の一般項を求めるためには、次のように考えます。初項は324（18²）、公差は-4²（つまり4ずつ減少）とすれば、数列は次の形になります。

無限和の計算方法

無限和を求めるためには、各項を逐次的に計算する方法が考えられます。最初の数列の合計を求め、その後の数列がどのように減少していくかを検討することで、無限に続く数列の和を求めます。

無限和の計算は、各項が減少し続ける場合、減少の割合に依存するため、この数列では最終的に無限和は定まります。具体的には、数列の収束値を求める必要があります。

まとめ

一定の割合で小さくなる正方形の面積の無限和を求める方法は、数列の一般項を理解し、その後、無限に減少していく項の和を求めることです。この記事で紹介した方法を参考にして、無限和の計算方法をより深く理解することができます。