三角関数の合成は、高校数学でよく出題される重要なテーマです。しかし、合成の過程で間違えやすいポイントも多く、質問者様のように合成後の角度が異なる結果になることもあります。ここでは、誤解の原因とその解法について解説します。
問題の整理と与えられた式
まず、問題の式は「√3sin2θ－cos2θ＝2sin(2θ－1/6π)」です。この式を変換する目的は、左辺を右辺の形に合わせることです。計算において重要なのは、三角関数の合成における変換の方法を理解することです。
合成の手順
三角関数の合成は、一般的に次の形で進めます。
ア) A sin(θ) + B cos(θ) を、R sin(θ + α) の形に変換します。
そのために、以下のステップを踏む必要があります。
- √3 sin2θ－cos2θ を、係数 A と B を使って合成します。
- R = √(A² + B²) で振幅 R を求め、θ+α という形に合わせます。
- α は、tanα = B/A で角度を決定します。
質問者の間違えた点
質問者様は、最終的な角度として 2θ + 6/5π を得たと記載されていますが、これは三角関数の合成における角度の扱いに誤りがあったためです。実際には、合成後の角度は「2θ – 1/6π」であり、この差が生じた理由は、計算の途中で角度の符号を逆にしたか、もしくは計算ミスがあったためと考えられます。
正しい解法と最終式
正しい式は次のように求められます。
√3 sin 2θ – cos 2θ = 2 sin (2θ – 1/6π)
このように、合成後の角度の求め方が重要であり、計算過程での符号や係数の取り扱いに注意する必要があります。
まとめ
三角関数の合成においては、θの変換と角度の計算において細かいミスが生じやすいです。合成式を正しく理解し、計算する際の手順に注意を払いながら進めることが、正しい結果を得るための鍵です。もし合成がうまくいかない場合、もう一度計算の流れを確認し、式を変形する際の符号に注目しましょう。
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