連立一次方程式が解を無数にもつときのaの値の求め方と解説

この問題では、連立一次方程式の解が無数に存在する条件を求める問題です。具体的には、aの値がどのようにして決まるのか、またその過程でなぜa(a-2)=0 かつ a-2=0となるのかを詳しく解説します。

問題の整理

与えられた連立一次方程式は次の通りです。

この問題では、解が無数にあるときのaの値を求めます。解が無数にあるためには、連立方程式が一次独立でなくなる条件、すなわち2つの式が重なる必要があります。

連立方程式が解を無数に持つためには、2つの式が比例関係にある必要があります。すなわち、1つの式を定数倍したものがもう1つの式になる場合です。この比例関係が成り立つとき、解は無数に存在します。

この問題では、まずyを求める形に変形し、代入法を使って解きます。式(1)をyについて解くと、y = 1 – (a-1)xとなります。

次に、(1)で求めたy = 1 – (a-1)x を(2)式に代入します。代入すると次のような式が得られます。

(a+1)x + (2a-1)(1 – (a-1)x) = 3

この式を展開して整理すると、xに関する式が次のようになります。

a(a-2)x = a-2

ここで、式をさらに簡単化すると、a(a-2) = 0 または a-2 = 0という形になります。なぜこのように変形できるのかについて詳しく説明します。

式a(a-2) = 0 は、因数分解をするとa = 0 または a = 2のいずれかという解を持ちます。ここで重要なのは、解が無数にある場合、xの値に制限がなくなることです。この場合、xの値が自由に決まるため、aが特定の値に制限される必要があります。

a = 2 の場合、方程式が重なり、解が無数に存在することが確認できます。a = 0 の場合も同様に、無数の解が存在する条件を満たします。

連立一次方程式が解を無数に持つためには、aの値が0または2である必要があります。具体的には、a(a-2) = 0 の式から、a = 0 または a = 2 が得られます。この2つの値が、解が無数に存在する条件を満たすaの値です。