「1、1、1、2、2、3、0」の7つの数字を全て並べる通り数を求める問題は、順列の問題です。しかし、単純な順列の計算だけではなく、重複が含まれているため、重複順列の公式を使って解く必要があります。この記事では、このような問題を解くための方法をわかりやすく解説します。
順列と重複順列の基本
順列とは、いくつかの異なるオブジェクトを並べる方法を指します。重複がある場合、単純な順列の計算だけでは求められません。例えば、同じ数字が複数回登場している場合、それを考慮した計算を行う必要があります。
重複順列の通り数は、次の式を使用して求めます。
通り数 = n! / (n1! × n2! × … × nk!)
ここで、nは全体の数字の数、n1、n2、…、nkはそれぞれの数字の出現回数です。
問題の整理
与えられた数字は「1、1、1、2、2、3、0」の7つです。ここでは、各数字の出現回数を確認しましょう。
- 1は3回
- 2は2回
- 3は1回
- 0は1回
これらを使って、重複順列を計算することができます。
通り数を求める計算
上記の情報を元に、通り数を計算していきます。まず、全体の数字の数は7個で、各数字の出現回数は次の通りです。
- 1が3回
- 2が2回
- 3が1回
- 0が1回
この情報を公式に代入すると、通り数は次のようになります。
通り数 = 7! / (3! × 2! × 1! × 1!)
計算を行うと、
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
3! = 3 × 2 × 1 = 6
2! = 2 × 1 = 2
1! = 1
したがって、通り数は。
通り数 = 5040 / (6 × 2 × 1 × 1) = 5040 / 12 = 420通り
まとめ
「1、1、1、2、2、3、0」の7つの数字を並べる通り数は、重複順列の公式を使って計算し、420通りであることがわかります。このように、重複がある場合は、出現回数を考慮した計算を行うことが重要です。
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