この問題では、4枚のカードから1枚を取り出し、その取り出したカードに書かれた数の積を求め、その積の約数で素数であるものの個数を計算する問題です。今回は、与えられた問題に対して、確率と期待値を求める手法について詳しく解説します。
問題設定
まず、問題を整理しましょう。カードにはそれぞれ異なる数が書かれており、n回の試行を行います。取り出したカードに書かれた数の積をXnとし、その約数で素数であるものの個数をYnとします。問題は以下の2つの問いに分かれています。
- (1) Xnが偶数である確率を求めよ。
- (2) Ynの期待値を求めよ。
Xnが偶数である確率
まず、Xnが偶数である確率を求めます。Xnは4枚のカードから取り出した数の積であり、その積が偶数であるためには、少なくとも1枚のカードに書かれた数が偶数である必要があります。カードに書かれた数が偶数である場合、Xnの積は必ず偶数となります。したがって、まずはカードに書かれた数が偶数である確率を求め、これに基づいてXnが偶数である確率を計算します。
カードに書かれた数が偶数である確率は、カードの内容によります。例えば、カードに書かれた数が2、4、6などであれば、その確率は決まります。
Ynの期待値
次に、Ynの期待値を求めます。Ynは、Xnの約数の中で素数であるものの個数です。まず、Xnの約数を求め、その中から素数であるものをカウントします。さらに、Ynの期待値は、n回の試行における素数の個数の平均を求めることに相当します。
期待値の計算には、各試行の結果が確率的にどのように影響するかを考慮して、適切な確率分布を用いて計算します。
まとめ
今回の問題では、カードの取り出し試行に基づいて確率と期待値を求める問題でした。Xnが偶数である確率は、カードに書かれた数の偶数性に基づいて計算し、Ynの期待値はXnの約数を素数でカウントすることで求めました。確率論や期待値の計算は、こうした問題において非常に重要な役割を果たします。
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