二次方程式 2x² – ax + 1 の解が特定の範囲にあるとき、定数 a の範囲を求める方法

問題文にあるように、二次方程式 2x² – ax + 1 の解が特定の範囲にある場合、定数 a の値を求める必要があります。この記事では、この問題を解くための手順を詳しく解説します。

問題の整理と方程式の設定

与えられた二次方程式は 2x² – ax + 1 = 0 です。問題の条件に従い、解の範囲について考えます。

まず、解が「0と1の間」と「1と2の間」にそれぞれあるという条件を基に、解の範囲を求めるために必要な式を立てます。このような問題では、解と係数の関係を理解するために解の公式や判別式を使うことが効果的です。

解の公式を使ったアプローチ

二次方程式の解の公式は次のようになります。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、与えられた方程式 2x² – ax + 1 = 0 において、a = 2, b = -a, c = 1 です。この解の公式を使って、解が特定の範囲にある条件を式として表現します。

解が0と1の間、または1と2の間にある場合、それぞれの解に対する不等式を立てることができます。それぞれの範囲における解を求め、a の範囲を求めることが目標です。

判別式を利用した解の範囲の求め方

判別式 Δ = b² – 4ac を使うことで、解の性質を判定できます。判別式が正なら解が実数、ゼロなら重解、負なら解は存在しません。

今回は解が存在するので、判別式が正となる条件を満たす a の範囲を求める必要があります。これにより、解の範囲を正確に特定し、a の値を決定することができます。

定数 a の範囲を求める

解が0と1の間に、また1と2の間にあるためには、定数 a の値が特定の範囲に収まる必要があります。具体的には、解が存在する条件を判別式で求め、その範囲に合う a の値を導きます。

これらの条件を満たすために、a の範囲を絞り込むことができます。最終的には、a の値がどの範囲に収まるかを求めることができ、この範囲に沿って解を導きます。

まとめ：解の範囲から定数 a の範囲を求める方法

二次方程式 2x² – ax + 1 の解が指定された範囲にあるとき、定数 a の範囲を求めるためには、解の公式と判別式を使って解の性質を調べる必要があります。問題文の条件に従って、解が存在する範囲を特定し、最終的に a の範囲を求めることができます。解の範囲と定数 a の範囲を正確に求めるためには、これらの数学的な手順を丁寧に確認することが重要です。