二次方程式の解の条件を求める方法｜正の解と負の解、すべての解が－2より小さい場合

二次方程式の解の条件を求める問題は、判別式や解の公式を使って解くことができます。今回は、方程式 X² – 2(K+1)X + 2(K² + 3K – 10) = 0 に対して、以下の2つの条件を満たす定数Kの範囲を求めます。

問題の方程式と条件

与えられた二次方程式は次の通りです。

X² – 2(K+1)X + 2(K² + 3K – 10) = 0

この方程式に対して、以下の2つの条件を満たすKの範囲を求めます。

二次方程式の解の性質を調べるためには、判別式 D を使用します。判別式は次の式で求められます。

D = b² – 4ac

ここで、ax² + bx + c = 0 の形式において、a、b、c はそれぞれ係数です。この判別式を使って、解が実数か虚数か、また解の個数を調べることができます。

まず、解の符号に関して考えます。与えられた方程式において、解が正と負の2つの異なる符号を持つためには、判別式が正でなければなりません。また、解が異なる符号を持つため、xの値の範囲に注目して、解の公式を使って適切なKの範囲を求めます。

次に、解がすべて－2より小さいという条件を満たす必要があります。この条件を満たすためには、解の公式を用いて、解が－2より小さくなるKの範囲を求めます。解が－2より小さい場合のKの条件を式にして、判別します。

この問題を解くためには、まず判別式を使って解が実数で異符号であることを確認し、その後、解が－2より小さい範囲を求める必要があります。求めたKの範囲が、条件(1)と条件(2)の両方を満たすように調整します。これにより、最終的にKの範囲が決定されます。