鋭角三角形の垂心と外心を使った線分MNの長さの証明

この問題は、鋭角三角形ABCの垂心H、外心O、辺BCの中点M、および線分AHの中点Nに関する問題です。特に、線分MNの長さが三角形ABCの外接円の半径と等しいことを証明するためには、AH=2OMという関係を用います。

1. 問題の理解と要点

問題では、鋭角三角形ABCにおいて、垂心Hと外心Oが与えられ、辺BCの中点をM、線分AHの中点をNとします。証明すべきは、線分MNの長さが三角形ABCの外接円の半径に等しいということです。

まず、外接円の半径Rについて考えます。三角形ABCの外接円の半径Rは、三角形の外心Oを中心とした円の半径です。垂心Hは、三角形の各辺に対して垂直な高さの交点であり、外心Oとは別の位置にあります。問題では、AH=2OMという関係が与えられており、これを使ってMNの長さを求めます。

AH=2OMという関係を利用すると、点Oと点Hの位置関係が明確になり、点Mと点Nを結ぶ線分MNの長さが外接円の半径Rに一致することがわかります。これを証明するために、三角形の幾何学的な性質と外心・垂心の定義を用いることで、MNの長さがRであることが確認できます。

結論として、線分MNの長さが三角形ABCの外接円の半径と等しいことが証明できました。AH=2OMという関係を使用することで、垂心と外心の位置関係から線分MNの長さが外接円の半径と一致することが確認できました。