√3が無理数であることの証明と背理法における自然数の役割

√3が無理数であることを証明する問題は、背理法を使った典型的な問題です。このような問題で「√3＝q/p」と置いて、pとqが互いに素な自然数であると書かれますが、果たして「自然数である必要があるのか？」という疑問が生まれることがあります。本記事では、この疑問について詳しく解説します。

無理数と有理数の違い

まず、無理数と有理数の定義を復習しておきましょう。無理数とは、整数や分数では表せない実数で、√2やπなどがその代表です。一方、有理数は、分数の形で表せる実数、つまり整数aとb（b≠0）を使ってa/bの形で表せる数です。

√3は有理数であれば、p/qという形に表すことができると仮定して、pとqが互いに素な自然数であると置きます。この仮定を基に、背理法を使って無理数であることを証明します。

背理法の基本は、「仮定した事が誤りであることを示す」方法です。√3が有理数であると仮定し、√3＝p/q（pとqは互いに素な自然数）と置きます。この仮定が誤りであることを示すために、次のように証明を進めます。

1. √3＝p/q と仮定し、両辺を2乗します。

2. p²/q² = 3 とし、p² = 3q² となります。

3. ここで、p²が3の倍数であるため、pも3の倍数であることが分かります。

4. p = 3k と置くと、p² = 9k² となり、9k² = 3q² となります。

5. ここから、q²が3の倍数であることが分かり、qも3の倍数であることが分かります。

6. しかし、pとqは互いに素な自然数であると仮定しているので、pもqも3の倍数であることは矛盾しており、仮定が誤りであることが示されます。

「pとqが互いに素な自然数である」という条件がなぜ必要かというと、背理法を適用するために重要な役割を果たすからです。もしpとqが自然数でなくても、同じような矛盾を引き起こせるわけではなく、この仮定がなければ証明は成立しません。

また、「自然数」という条件を設定することで、pとqの間に何らかの整合性を保たせることができます。この設定により、√3が無理数であることが明確に示されます。

√3が無理数であることを証明するために、背理法を用いて「√3＝p/q」という仮定を置きました。この際に、pとqが互いに素な自然数である必要があり、この条件を満たすことで証明が成立します。もし自然数でない場合、背理法を適用する意義が失われるため、仮定として自然数であることが不可欠です。