高校数学：直線に接し、円に内接する円Cの中心Pの軌跡の求め方

「直線x＝-2に接し、円(x-1)^2 + y^2 = 1と内接する円Cの中心Pの軌跡を求めよ」という問題の解き方について解説します。問題のステップを順を追ってわかりやすく説明しますので、ぜひ参考にしてください。

1. 問題の理解

まず、この問題では、直線x = -2に接する円Cと、円(x – 1)^2 + y^2 = 1が内接するという条件が与えられています。円Cの中心Pの軌跡を求めるということは、円Cの中心Pが描く軌跡を求めることを意味します。

円(x – 1)^2 + y^2 = 1は、中心(1, 0)で半径1の円です。この円に内接する別の円Cがあり、円Cの中心Pがx = -2に接しているという条件が示されています。

内接する円の中心Pは、接線となる直線からその円の半径分だけ離れています。このため、円Cの半径rは、直線x = -2から円Cの中心Pまでの距離に等しいことがわかります。円(x – 1)^2 + y^2 = 1の半径は1なので、円Cの半径rは1になります。

したがって、円Cの中心Pは、x = -2の直線から1の距離だけ離れた位置にあります。この情報をもとに、円Cの中心Pが描く軌跡を求めることができます。

中心Pが直線x = -2から1の距離だけ離れているという条件から、Pのx座標は-2から1の距離だけ左または右にずれることになります。つまり、Pのx座標は-2 ± 1の値を取ることになります。したがって、Pのx座標は-1または-3です。

次に、y座標ですが、円Cの中心Pはy軸上でも動く可能性があるため、y座標には制限がありません。したがって、円Cの中心Pの軌跡は、x = -1またはx = -3の2本の直線に沿った点の集合となります。

円(x – 1)^2 + y^2 = 1と内接し、直線x = -2に接する円Cの中心Pの軌跡は、x = -1またはx = -3の直線上に描かれます。このように、問題に与えられた条件を元にして、円の半径や接線との距離の関係を使って解答を導くことができます。