高校数学の問題：不等式の領域の面積の最大化

高校数学の問題における、不等式の領域の面積最大化問題の解法について解説します。この問題では、与えられた不等式の領域に対する共通面積を求め、その最大値を算出します。

1. 問題の整理

問題文にあるように、まずは二つの不等式が与えられています。

これらの不等式に基づいて領域DとEを求め、それらの共通面積Sを最大化する方法を考えます。

領域Dは、x² – 1 ≦ y ≦ -x² + 1 の範囲を満たす座標平面上の領域です。この領域は、上下の曲線が交わる範囲として視覚化できます。

領域Eは、(x – a)(x – b) ≧ 0 の範囲であり、これは x = a と x = b の間、またはそれらの外側で成立する範囲を表します。

面積Sを求めるためには、与えられた範囲で積分を用いて面積を計算します。積分を分けて考える方法が提示されています。

まず、Sを次のように2つの部分に分けて計算するアプローチが考えられます。

S = ∫[-1~a]{(-x² + 1) - (x² - 1)} dx + ∫[b~1]{(-x² + 1) - (x² - 1)} dx

この式では、a と b を適切に選び、積分範囲を設定して、面積の最大化を目指します。

aとbの二変数の式を最大化するためには、数値的なアプローチを取ることが必要です。微分を使って最大値を求めることもできます。

このような最大化問題を解くためには、積分結果を式に代入し、a, bの値を調整していきます。

積分を実行し、aとbを最適化することで、面積Sの最大値が求められます。最終的なSの最大値は、適切にaとbを選定することで計算できます。

この問題では、与えられた不等式の範囲を積分によって面積を求め、その最大値を求めることが目的でした。aとbを最適化することで、最大の面積Sを得ることができることが分かりました。