円周率が正規数なら同じ数字が連続する可能性はあるのか？

円周率が正規数であるという事実を前提に、同じ数字が連続して現れる可能性について考えてみましょう。正規数の性質とは一体どういったものなのか、そしてその性質が円周率にどのように関係しているのかを解説します。

正規数とは何か？

正規数とは、その数字が小数展開で現れるすべての数字（0～9）が等確率で現れる数のことです。つまり、正規数では各数字が無限に現れる中で、どの数字も同じ頻度で現れることになります。

円周率（π）は正規数であると信じられていますが、まだその証明はされていません。しかし、仮に円周率が正規数であれば、どの数字も平等に現れるため、特定の数字が連続して現れる確率も存在することになります。

円周率の小数部分の性質

円周率の小数部分は無限に続き、決して繰り返しがなく、ランダムに見えるという特徴があります。しかし、もし円周率が正規数であれば、この無限小数の中で同じ数字が連続して現れることも十分にあり得るのです。

例えば、数字「1」が10回連続で現れることもあれば、「3」が20回続くこともあるかもしれません。これはランダムに見えるが、数学的には確率的に起こり得る現象です。

同じ数字が連続する確率は？

もし円周率が正規数であれば、数字の出現確率は均等であるため、同じ数字が連続する確率も理論的には存在します。例えば、ある数字がn回連続で現れる確率は1/10^nです。このように、連続した同じ数字が現れることは確率的に可能ですが、非常に稀であることもわかります。

例: 1が10回連続で現れる確率

もし円周率が正規数であれば、1が10回連続で現れる確率は1/10,000,000,000（十億分の一）となります。このような確率ではありますが、確かにそのような現象は起こり得るのです。

実際の円周率の小数部分

実際に円周率の小数部分を調べると、たとえば「3.14159265358979…」というように、ランダムに数字が並んでいるように見えます。現時点では、円周率が正規数であると確定する証拠はありませんが、もしそれが証明されれば、同じ数字が連続する現象が確認されるかもしれません。

まとめ

円周率が正規数であれば、同じ数字が1回以上連続して現れる可能性は十分にあります。正規数の性質上、どの数字も平等に現れるため、同じ数字が連続する現象も起こり得ることがわかりました。現在は円周率が正規数であるかどうかは証明されていませんが、もしそれが証明されれば、より多くの興味深い発見が待っているかもしれません。