合同式についての質問です。特に、a≡b (mod n) ⇔ am≡bm (mod nm) の成り立ちに関して、理解を深めるためにその解説を行います。まずは合同式の基本から始めましょう。
1. 合同式とは？
合同式 a ≡ b (mod n) とは、整数 a と b が n で割った余りが同じであることを意味します。つまり、a – b が n の倍数であるということです。これにより、a と b は mod n において同じクラスに属することになります。
2. 提示された式の意味
今回の質問では、a ≡ b (mod n) という条件のもとで、am ≡ bm (mod nm) が成り立つかどうかを問われています。これは、a と b が n で合同ならば、m 倍した数も nm で合同であるかという問題です。
3. 証明と検証
式 a ≡ b (mod n) が成り立つとき、a – b = kn という形で表せます（k は整数）。ここで両辺に m を掛けると、am – bm = k * m * n となります。したがって、am ≡ bm (mod nm) は成り立ちます。つまり、a ≡ b (mod n) が成り立つとき、am ≡ bm (mod nm) も成立するということです。
4. 注意点と例
この関係が成り立つためには、元の合同式が正しく成立している必要があります。例えば、a = 5, b = 2, n = 3 の場合、a ≡ b (mod n) は成り立ちますが、m を変更した場合にも同じ関係が保たれるかを確かめる必要があります。
まとめ
a ≡ b (mod n) ⇔ am ≡ bm (mod nm) の関係は正しいことが確認できました。合同式の性質を理解し、m 倍した場合でもその性質が保たれることが重要です。この知識を元に、他の合同式に対しても同様の検証を行ってみてください。
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