区分求積法におけるf(x)の導出方法 - 数学Ⅲの基本と理解

高校数学Ⅲで扱う「区分求積法」は、積分の基本的な考え方を理解するための大切なステップです。特に、Σ記号を使った式において、f(x)がどう導かれるかについては、少し難しく感じることもあります。今回の質問では、与えられた式を基にどのようにしてf(x)が「3 / (1 + x)」となるのかを解説します。

区分求積法の基本的な考え方

区分求積法は、積分を求めるための方法の一つで、実際には微分積分学における定積分の概念を数値的に求める手法です。式の中にΣ（シグマ）記号を使い、n個の小さな区間に分けて、その面積を足し合わせていく方法です。この過程で、ある関数f(x)がどのように形成されるかを理解することが重要です。

質問の式は、「lim{n→∞} Σ{ k=1〜n} (1/n) * (3 / (1 + (k + 2/n)))」です。この式を見たときに重要なのは、Σ記号の意味と「n→∞」という部分です。nが無限大に近づくとき、この式は積分の定義に近づくのです。

この式を分解すると、Σの中の各項が、f(k/n)という形になります。つまり、k/nという形で関数に変換されることで、最終的にf(x)として形ができあがります。このとき、f(x)は「3 / (1 + x)」という関数になるのです。

具体的にどのようにしてf(x)が3 / (1 + x)になるのかを詳しく見ていきましょう。式の中で、(k + 2/n)という部分が関数の変数にあたります。これをxに置き換えることで、最終的にf(x) = 3 / (1 + x)という形になります。

ここで、k/nのような形をとることで、区分求積法が実際の積分に近づき、最終的には積分の結果と一致する式が得られます。具体的な積分の計算方法を理解するためにも、区分求積法をしっかりと身につけることが大切です。

区分求積法を使って関数f(x)を導く際、Σ記号の中に含まれる(k + 2/n)の部分が関数の変数に置き換わり、最終的にf(x) = 3 / (1 + x)という形になることがわかります。これを理解することで、積分の計算や区分求積法の理論をしっかりと学ぶことができます。