有理化は、分母にルートが含まれている場合に、そのルートを取り除くために行う操作です。しかし、どうして「8÷√2」を有理化する際に「2分の8√2」になるのか、また「√7分の1」を有理化する際に「7分の√7」が正解なのか、これらの違いが理解できていないという質問をよく聞きます。本記事では、有理化の基本的な方法とその応用を、具体的な例を使ってわかりやすく解説します。
有理化とは？
有理化とは、分母に含まれる平方根（√）を取り除く操作のことです。例えば、分母に√2がある場合、√2を取り除いて計算を簡単にするために、分母と分子を√2で掛けることで有理化します。これにより、分母が整数になり、計算がしやすくなります。
有理化を行う理由は、主に計算を簡単にするためです。ルートを含んだ分数をそのまま使うと計算が煩雑になりますが、有理化を行うことで分母が整数になり、計算がスムーズに進みます。
8÷√2を有理化する方法
まず、「8÷√2」という式を考えましょう。この式を有理化するためには、分母の√2を取り除く必要があります。分母に√2があるので、分母と分子に√2を掛けます。すると、次のようになります。
(8 ÷ √2) × (√2 ÷ √2) = (8√2) ÷ 2
結果として、分母に√2がなくなり、「2分の8√2」という形に変わります。このように、分母に√2が含まれている場合は、√2を使って分母を整数にします。
√7分の1を有理化する方法
次に、「√7分の1」という式を考えます。この場合、分母に√7が含まれています。これを有理化するためには、分母の√7を取り除く必要があります。分母と分子に√7を掛けると、次のようになります。
(1 ÷ √7) × (√7 ÷ √7) = √7 ÷ 7
結果として、分母が整数になり、「7分の√7」という形になります。この場合も、分母を整数にするために√7を掛けることによって有理化が行われます。
なぜ「2分の8√2」と「7分の√7」に違いがあるのか？
「2分の8√2」や「7分の√7」のような有理化の結果に違いが生じる理由は、元々の数式の形にあります。8÷√2のように、分母にある√2を整数にしたい場合は、分子にも√2を掛ける必要があります。一方、√7分の1のように、分母に√7がある場合には、分母と分子に√7を掛けることで、分母を7にすることができます。
要は、元の式がどのような形であるかによって、有理化の方法が変わります。それぞれの式に応じた操作を行うことが重要です。
まとめ
有理化は、分母に平方根が含まれている場合に、分母を整数にするために行う重要な操作です。「8÷√2」の場合は分子に√2を掛け、「√7分の1」の場合は分子と分母に√7を掛けることで、それぞれ有理化が行われます。これらの違いを理解することで、有理化の方法を正しく使いこなすことができます。
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