「(2x^2 - 3/x)^6の展開式におけるx^3の係数を求める方法」

この問題では、展開式を計算し、x^3の項を抽出してその係数を求める方法を解説します。展開式の求め方、特に二項定理を利用した方法に注目して、手順をわかりやすく説明します。

1. 二項定理の基本

まず、(a + b)^n の形の式を展開するためには「二項定理」を使います。この定理では、次の式で展開を行います：
(a + b)^n = Σ (nCk * a^(n-k) * b^k) (k=0 to n)。

この式の中で、nCk は「nのk項の組み合わせ」を意味し、a^(n-k) と b^k は、それぞれの項に対応するべきべき乗です。

問題では (2x^2 – 3/x)^6 という式を展開します。この式を a = 2x^2、b = -3/x、n = 6 として、二項定理を使います。

展開後の一般項は、以下のように表されます：
(2x^2 – 3/x)^6 = Σ (6Ck * (2x^2)^(6-k) * (-3/x)^k) (k=0 to 6)。

次に、この式の中からx^3の項を見つけます。具体的には、(2x^2)^(6-k) と (-3/x)^k の積がx^3になるようなkの値を求めます。

式に代入していくと、(2x^2)^(6-k) = 2^(6-k) * x^(2(6-k)) であり、(-3/x)^k = (-3)^k * x^(-k) となります。これらの指数の合計が3になるようにkを選びます。

指数部分をまとめると、x^(2(6-k)) * x^(-k) = x^(12 – 2k – k) = x^(12 – 3k) となります。

x^(12 – 3k) が x^3 になるためには、12 – 3k = 3 である必要があります。これを解くと、k = 3 となります。

k = 3のとき、一般項は以下のようになります：
6C3 * (2x^2)^(6-3) * (-3/x)^3 = 20 * (2x^2)^3 * (-3/x)^3 = 20 * 8x^6 * (-27/x^3) = 20 * 8 * (-27) * x^3 = -4320x^3。

したがって、x^3の項の係数は-4320です。

この問題では、二項定理を利用して式を展開し、x^3の項を抽出する手順を説明しました。k = 3のときにx^3の項が得られることが分かり、その係数が-4320であることがわかりました。