なぜsin(π/2 – θ) = cosθなのか？初心者でも分かる簡単な解説

三角関数における重要な恒等式の一つである「sin(π/2 – θ) = cosθ」。この式は三角形や単位円を使って理解すると、非常にわかりやすくなります。本記事では、なぜこの式が成り立つのかを、図を使わずに簡単な言葉で解説します。

三角関数の基本をおさらい

まず、三角関数について簡単におさらいしましょう。sin(θ)は直角三角形の「対辺/斜辺」を表し、cos(θ)は「隣辺/斜辺」を表します。また、単位円という円を使って、sinとcosは角度に応じてどのように変化するかを視覚的に理解できます。

sin(π/2 – θ) = cosθの意味とは？

「sin(π/2 – θ) = cosθ」の式を理解するためには、単位円を想像してみてください。単位円の中心から半径1の点までを引いた線が、角度θに応じて移動します。この時、θが「π/2 – θ」の位置に移動すると、その点のy座標（sin）が、元の点のx座標（cos）に一致します。つまり、sinとcosは互いに補完し合う関係にあるのです。

簡単な例で理解しよう

具体的な例を考えてみましょう。もしθ = 30度だとすると、π/2 – 30度は60度に相当します。sin(30度)は1/2、cos(30度)は√3/2です。一方、sin(60度)もまた1/2と一致します。これから、sin(π/2 – 30度)がcos(30度)と等しいことが確認できます。

なぜπ/2 – θになるとcosθになるのか？

これは、三角関数の対称性に関係しています。単位円で考えると、θをπ/2だけ回転させると、sin(π/2 – θ)はcos(θ)と一致します。この回転による対称性が、sinとcosを関連付けているのです。

まとめ

「sin(π/2 – θ) = cosθ」の関係は、単位円の回転によって理解できます。θをπ/2だけ回転させると、sinとcosは互いに入れ替わる関係にあります。この性質を覚えておくと、三角関数の計算や問題の解法がよりスムーズに行えるようになります。