極大イデアルと商環が体であることの証明

この問題では、Rを単位的可換環とし、MがRの極大イデアルであることとR/Mが体であることが等価であることを証明します。具体的な証明を順を追って説明していきます。

1. 証明の概要

Rを単位的可換環、MをRの極大イデアルとし、R/Mが体であることとMが極大イデアルであることの関係を示します。まず、R/Mが体であればMが極大イデアルであることを示し、その後Mが極大イデアルであればR/Mが体であることを証明します。

2. R/Mが体であるならば、Mは極大イデアルである

R/Mが体である場合、R/Mの元で0でない元が逆元を持つという性質が成り立ちます。もしMが極大イデアルでない場合、R/Mは体にはならないため、Mは極大イデアルである必要があります。

3. Mが極大イデアルであれば、R/Mは体である

Mが極大イデアルであれば、R/Mは単位元を持ち、逆元を持つ元が存在するため、R/Mは体であるといえます。これは、極大イデアルの性質に基づく直接的な結論です。

4. まとめ

したがって、R/Mが体であることと、MがRの極大イデアルであることは等価であることが証明されました。この関係は環論における重要な結果の一つです。