三角関数の合成と最大・最小値の求め方

三角関数の合成に関する問題は、特にその結果を最大値や最小値に関連付けるときに、少し難易度が上がります。この記事では、与えられた三角関数の合成をどのように行い、最大・最小値を求めるか、そして合成後の関数に関する疑問（異なる角度の式について）について解説します。

問題設定

問題は、以下の式の合成に関するものです。

y = sin(Θ + 5π/6) – cos(Θ) という関数を合成して、最大値と最小値を求める問題です。解答として、合成後の関数は y = sin(Θ + 7π/6) となるとのことです。

三角関数の合成方法

三角関数の合成では、加法定理を用います。具体的には、sin(α + β) や cos(α + β) のような形に変形することで、新たな角度にまとめることができます。

まず、y = sin(Θ + 5π/6) – cos(Θ) の式を合成するために、sin(Θ + 5π/6) と cos(Θ) を同じ関数にまとめる必要があります。このためには、引き算を加算の形に変形する必要があります。

合成後の関数 y = sin(Θ + 7π/6) と -5π/6 の関連

「y = sin(Θ + 7π/6) と -5π/6 と計算してもよいか？」という質問についてですが、これは理論的に正しい方法です。

なぜなら、三角関数において、角度の加法定理に基づいて、角度は+πや-πという形で調整可能です。このため、7π/6 は、実際には -5π/6 と等価であり、三角関数の周期性を利用することで、この変換が成立します。

最大値と最小値の求め方

y = sin(Θ + 7π/6) という合成された関数の最大値と最小値を求めるためには、sin(Θ + 7π/6) の性質を理解することが大切です。

sin(Θ + 7π/6) の最大値は 1、最小値は -1 です。したがって、この合成後の関数の最大値は 1、最小値は -1 となります。

まとめ

三角関数の合成は、加法定理を利用して行うことができ、最終的に新しい関数を簡潔にまとめることができます。また、sin(Θ + 7π/6) と sin(Θ – 5π/6) は周期性により等価であるため、角度を-5π/6として計算しても問題ありません。最大値と最小値の計算には、合成後の関数の範囲を理解しておくことが重要です。