積分の解法：cos(x)^3 – sin(x)^3 / (cos(x) + sin(x)) の積分

数学における積分の問題で、特定の関数の積分を求めることは非常に重要です。今回は、cos(x)^3 – sin(x)^3 / (cos(x) + sin(x)) の積分を求める方法を解説します。

問題の整理

与えられた式は次の通りです。

(cos(x)^3 - sin(x)^3) / (cos(x) + sin(x))

この式を積分するためには、まず式を簡単にする必要があります。上記の式は因数分解を使って簡単にできます。

因数分解

cos(x)^3 – sin(x)^3 は、和の公式を使って因数分解できます。具体的には、次の式が成り立ちます。

cos(x)^3 - sin(x)^3 = (cos(x) - sin(x)) (cos(x)^2 + cos(x)sin(x) + sin(x)^2)

したがって、元の式は次のように書き換えられます。

(cos(x) - sin(x)) (cos(x)^2 + cos(x)sin(x) + sin(x)^2) / (cos(x) + sin(x))

この式をさらに簡単化するために、cos(x) – sin(x) と cos(x) + sin(x) の積に注目します。

簡単化と積分

式を簡単化すると、次のようになります。

cos(x) - sin(x) / cos(x) + sin(x) = 1

したがって、積分式は次のように簡単化されます。

∫ 1 dx

この積分は非常に簡単で、結果は次の通りです。

x + C

まとめ

元の式 (cos(x)^3 – sin(x)^3) / (cos(x) + sin(x)) は因数分解を使って簡単にし、最終的に積分を解くことで x + C という結果を得ることができました。このように、式の簡単化を行うことで、複雑な積分問題も解くことができます。