二次関数の頂点と不等号について

数学の二次関数では、頂点が最小値や最大値を持つ場合、不等号に「≤」や「≥」のようにイコールが付く理由を理解することが重要です。この記事では、二次関数の頂点に関する基本的な概念と、それに関連する不等号の使い方について解説します。

1. 二次関数の基本

二次関数は一般的に、y = ax² + bx + c の形で表されます。この関数のグラフは放物線となり、グラフの頂点は最小値または最大値を示します。最小値を持つ場合、グラフは上に開いており、最大値を持つ場合は下に開いています。

2. 頂点と不等号の関係

二次関数の頂点は、関数の最大または最小の値を示す重要なポイントです。もし頂点が最小値であれば、その値以下の値を取ることができます。この場合、y ≥ 最小値のように、「≥」という不等号が使われます。逆に、頂点が最大値であれば、その値以上の値を取ることができます。この場合は、y ≤ 最大値という不等式が使われます。

3. イコール付き不等号の意味

二次関数で「≤」や「≥」のような不等号にイコールが付く理由は、頂点が関数の最大値または最小値を取る点だからです。例えば、y = x² の場合、x = 0 で最小値を取ります。このとき、y ≥ 0 となり、0が最小値であるため「＝」が付いています。

4. 例題で理解する

y = x² – 4x + 3 の場合、頂点は x = 2 で、y = -1 になります。この場合、最小値 -1 なので、不等式は y ≥ -1 と表現されます。頂点で最小値を取るため、「＝」が付いていることがわかります。

5. まとめ

二次関数の頂点が最小値や最大値を持つ場合、不等号に「≤」や「≥」が付くのは、頂点でその関数が最大値または最小値を取るからです。これにより、関数が取ることのできる値の範囲を表現することができます。