相似な三角形の面積から相似比を求める方法とその理由

今回は、相似な三角形PとQに関する問題を解説します。この問題では、三角形PとQの面積が与えられ、相似比を求める問題です。まずは相似比の基本を押さえ、計算方法を理解していきましょう。

1. 相似比と面積の関係

相似な図形の場合、相似比の2乗が面積比に対応するという性質があります。つまり、相似な三角形の面積比は、対応する辺の長さの比（相似比）の2乗に等しいです。

例えば、相似な三角形PとQの面積比が与えられた場合、相似比を求めるには、次の式を使います。

問題では、三角形Pの面積が75㎤、三角形Qの面積が147㎤と与えられています。この面積比を使って相似比を求める方法を見ていきましょう。

面積比は次のように計算できます。

次に、相似比を求めるためには面積比の平方根を求めます。

この相似比1.4を整数比で表すためには、1.4を最も簡単な整数比に変換します。1.4は7:5に対応するので、相似比は5:7となります。

最初に「25:49」と考えた場合、面積比が25:49となるためには、相似比が5:7である必要があります。これは面積比が「相似比の2乗」に対応することを理解することで説明できます。

面積比が25:49の場合、相似比は√(25/49) = 5/7となり、最終的に相似比は5:7であることがわかります。したがって、面積比が75㎤と147㎤のとき、相似比は5:7が正解となります。

相似な三角形の面積比を使って相似比を求める際には、面積比の平方根を計算することが重要です。今回の問題では、面積比が1.96であるため、相似比は5:7となります。相似比と面積比の関係を理解することが、この問題を解く鍵となります。