放物線と直線の交点に関する問題の解法と判別式の活用

今回の問題では、放物線の頂点が直線上にあり、またその交点に関して、判別式を用いて条件を求める方法について解説します。

1. 問題の整理

問題では、放物線y = -x² + 2px + qと直線y = mx – 3が与えられ、放物線の頂点が直線上にあるという条件が与えられています。ここで求めるのは、pの値にかかわらず、Cとy軸の共有点のy座標が負になるためのmの範囲です。

2. 頂点の位置と放物線の式

まず、放物線y = -x² + 2px + qの頂点の座標を求めます。放物線の頂点のx座標は、x = -b / 2aの公式に基づいて計算できます。この場合、a = -1, b = 2pなので、x = -2p / (2 * -1) = pとなります。y座標を求めるには、x = pを放物線の式に代入します。

3. 直線との交点条件と判別式

次に、放物線と直線の交点を求めるために、y = mx – 3をy = -x² + 2px + qに代入します。これにより、x²の係数が-1である2次方程式が得られます。この方程式の判別式Dを求め、D < 0となる条件を考えます。判別式が負である場合、2次方程式は実数解を持たず、放物線と直線は交点を持たないことを意味します。

4. 判別式を用いたmの範囲の導出

判別式Dを用いることで、放物線と直線の交点が1つであるかどうかを判断することができます。交点のy座標が負である条件を満たすためのmの範囲を導きます。この条件を満たすmの範囲は、特定の値に限定されます。

5. まとめ

この問題では、放物線の頂点が直線上にあり、さらに交点のy座標が負となるようにmの範囲を求めるために、判別式を使用しました。判別式を用いることで、方程式の解の有無を簡単に確認でき、必要な条件を導き出すことができます。