コーシーの平均値の定理は、微分積分学の重要な定理の一つですが、その証明において補助関数を選ぶ過程に悩む方も多いでしょう。この記事では、コーシーの平均値の定理を証明する際に使う補助関数をどうやって思いつくのか、その方法について詳しく解説します。
コーシーの平均値の定理とは？
コーシーの平均値の定理は、ある区間で連続かつ微分可能な関数が、区間内の点で平均の変化率と一致する点が存在することを示す定理です。具体的には、2つの関数f(x)とg(x)が与えられたとき、g(x)が0でないなら、区間[a, b]の中で、f'(c) / g'(c) = (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a))となるようなcが存在することを示します。
この定理を証明する際に、補助関数を使うことで証明が進めやすくなります。証明方法における補助関数の選び方が鍵となります。
補助関数の選び方
補助関数を選ぶときの基本的な考え方は、定理の条件にうまく合うような関数を構築することです。コーシーの平均値の定理では、関数f(x)とg(x)の変化率を比較する必要があるため、両者を結びつける関数が求められます。
一般的には、次のような補助関数を考えると効果的です。
h(x) = f(x) – g(x) * (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a))
この補助関数h(x)は、定理の証明に必要な中間結果を構築しやすくします。特に、h(x)が区間[a, b]で連続かつ微分可能であることを確認することが証明に繋がります。
補助関数を使った証明の流れ
コーシーの平均値の定理を証明するためには、まず補助関数h(x)を導入します。次に、h(x)の導関数h'(x)を求め、その性質を利用して、証明の核心である「ある点cが存在する」という部分を導きます。
補助関数h(x)の導関数h'(x)が0になる点cを探すことで、コーシーの平均値の定理の条件を満たすcが見つかります。このようにして補助関数を使うことで、証明を進めやすくすることができます。
補助関数を選ぶ際の注意点
補助関数を選ぶ際には、定理の条件に合致した形にすることが重要です。特に、選んだ補助関数が連続かつ微分可能であることが必要です。また、補助関数の定義が問題の核心にうまく対応しているかを確認することも大切です。
他にも、補助関数が単純である方が計算や証明が楽になることが多いため、あまり複雑な形にならないように工夫しましょう。
まとめ
コーシーの平均値の定理を証明する際に補助関数を選ぶ方法は、定理の条件を満たす形で適切な関数を構築することです。補助関数h(x)を使って、証明の流れを進め、微分や連続性を確認することで、定理の証明が可能になります。補助関数の選び方を理解し、練習することで、証明をスムーズに進めることができるようになります。
コメント