ベルヌーイ分布の期待値がなぜpになるのか、理解しづらいと感じる方も多いかもしれません。特に、P(0)とP(1)をどのように設定するかによって期待値の値が変わるのではないかという疑問を持つ方もいらっしゃるでしょう。この記事では、ベルヌーイ分布の期待値を求める方法を解説し、なぜP(0)とP(1)の設定が重要であるのかを詳しく説明します。
ベルヌーイ分布とは？
ベルヌーイ分布は、2つの結果（成功と失敗）しかない確率分布で、試行が1回だけ行われる場合に使用されます。例えば、コインを1回投げたときに表か裏かが出る場合などです。ベルヌーイ分布は、0または1の2つの結果に関する確率をモデル化します。
ベルヌーイ分布の確率質量関数（PMF）は、次のように表されます：
P(0) = 1 – p（失敗の確率）
P(1) = p（成功の確率）
期待値の計算方法
期待値E[X]は、確率変数Xのすべての可能な値にその確率を掛け合わせた総和として計算されます。ベルヌーイ分布の場合、Xは0または1のいずれかで、期待値E[X]は次のように計算されます。
E[X] = 0 × P(0) + 1 × P(1) = 0 × (1 – p) + 1 × p = p
この計算から、ベルヌーイ分布の期待値がpであることがわかります。つまり、成功が起こる確率そのものが、期待値に対応しているのです。
なぜP(0) = 1 – p、P(1) = pであるべきか
問題の質問にあるように、P(0)とP(1)の設定について疑問を持つ方がいます。P(0) = pと設定した場合、期待値が1 – pになってしまいますが、これは誤りです。
なぜなら、P(0) = 1 – pと設定することで、確率が合計1になるように設定されています。ベルヌーイ分布では、成功の確率がp、失敗の確率が1 – pであり、確率の合計が必ず1になることを確認する必要があります。もしP(0) = pと設定してしまうと、確率が1を超えることになり、矛盾が生じます。
P(0)とP(1)の役割
ベルヌーイ分布におけるP(0)とP(1)は、確率を適切に設定するために非常に重要です。P(0) = 1 – p、P(1) = pという設定は、確率の合計が必ず1になることを保証し、正しい期待値を得るために必要です。
仮にP(0)とP(1)を逆に設定した場合（P(0) = p、P(1) = 1 – p）、期待値の計算が誤った値になります。従って、確率を定義する際は、常にP(0) = 1 – p、P(1) = pとするのが基本です。
まとめ
ベルヌーイ分布の期待値がpである理由は、成功の確率pがそのまま期待値に対応するためです。P(0) = 1 – p、P(1) = pという確率の設定は、確率が1になるように調整するための正しい設定です。もしP(0) = p、P(1) = 1 – pと設定した場合、期待値の計算が誤ってしまうため、その設定は避けるべきです。確率分布の設定においては、常に数学的に整合性を保つことが重要です。
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