サイコロを使った数学問題の解法：平面上の点P, Q, Rが成す直線の確率を求める

この数学の問題は、2つのサイコロを投げて得られた目の数を使って、平面上に定められる3点P、Q、Rが特定の直線上に並ぶ確率を求める問題です。これを解くために、確率と直線の概念を結びつけて考える方法を解説します。

問題の設定

問題では、サイコロAとサイコロBをそれぞれ1回ずつ投げ、Aの目をx座標、Bの目をy座標として平面上に点を定めます。サイコロの目の数はそれぞれ1から6までの範囲です。この試行を3回繰り返すことで、点P, Q, Rが得られ、次の2つの問いに答えることになります。

（１）点P, Q, Rがx軸に平行な直線上にある確率

3点P, Q, Rがx軸に平行な直線上にあるということは、これらの点のy座標がすべて同じであることを意味します。したがって、P, Q, Rのy座標がすべて一致する確率を求める必要があります。各サイコロの目は1から6のいずれかの値を取るので、P, Q, Rのy座標がすべて一致する組み合わせは6通りあります。全体の組み合わせ数は6×6×6=216通りです。したがって、確率は6/216 = 1/36です。

（２）P, Q, Rが互いに異なり、かつ傾きが1の直線上にある確率

次に、点P, Q, Rが互いに異なり、かつ傾きが1の直線上にある確率を求めます。この場合、点P, Q, Rの座標は互いに異なり、直線の傾きが1であるため、任意の2点間のy座標の差とx座標の差が等しい必要があります。つまり、(y2 – y1) = (x2 – x1)の関係が成り立つことになります。このような点の組み合わせは数が限られており、具体的な計算を通して求めることができます。

解法のアプローチと考え方

この問題を解くためのアプローチは、まず確率の基本を理解することです。x軸に平行な直線上にある確率は、y座標の一致を求めることで簡単に求められます。一方、傾きが1の直線上にある確率は、y座標の変化とx座標の変化が一致する条件を見つけることが重要です。

まとめ

この問題では、サイコロの目を座標として扱い、確率と直線に関する問題を解く方法を学びました。問題を解くためには、まず基本的な確率の計算を行い、次に直線の性質を理解して特定の条件に合った解を求めることが求められます。この方法をしっかり理解することで、他の類似した問題にも対応できるようになります。