四元数群Q8はある対称群の部分群か？

群論における四元数群Q8は、特に対称群と関連があるかどうかが疑問に思われることがあります。本記事では、四元数群Q8が対称群の部分群となるかについて、詳細に解説します。

1. 四元数群Q8とは？

四元数群Q8は、次のような8つの要素からなる群です。

Q8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}

ここで、i, j, k は四元数の基本単位であり、次の性質を満たします。

これにより、Q8 は閉じた群であり、演算が閉じていることが確認できます。

対称群とは、ある集合の順列の群を指します。例えば、S_n は、n 個の要素からなる集合の順列全体を表す群です。S_n の演算は、順列の合成です。対称群の部分群は、順列の部分集合として、演算が閉じている必要があります。

四元数群Q8は、実は対称群の部分群として考えることができます。特に、Q8 の構造は、S_4（4つの要素からなる順列群）の部分群として現れることがあります。具体的には、Q8 の演算は、4つの回転操作に対応し、これらは対称群の順列操作に類似しています。

例えば、四元数群の要素である i, j, k は、S_4 の順列として解釈できます。このように、Q8 は一定の条件下で対称群の部分群として機能することがあります。

四元数群Q8は、対称群の部分群として扱うことができる場合があります。特に、Q8 の演算が順列の合成に類似しているため、ある対称群の部分群として解釈することができます。

このように、群論におけるQ8の性質を理解することは、対称群との関係を明確にするために重要です。