樹形図における組み合わせの被りを書かない場合と書く場合の違い

樹形図を使った組み合わせの問題で、組み合わせの「被り」を書くべきかどうかは、問題の性質に依存します。組み合わせの被りを無視するのか、意図的に示すのか、その違いを理解することは重要です。この記事では、組み合わせの被りをどう扱うべきか、そしてそれが樹形図の書き方に与える影響について解説します。

樹形図とは？

樹形図は、組み合わせの問題を視覚的に表現するための図です。問題に対する選択肢や条件を分岐の形で表現し、最終的な結果がどのように導かれるかを示すために使われます。組み合わせの問題では、樹形図を使うことで、選択肢ごとにどのように分岐していくかを整理できます。

樹形図を描くことで、どの組み合わせが可能で、どの選択肢が他の選択肢と重なるかを簡単に理解することができます。

組み合わせの被りを「書かない」場合

組み合わせの「被り」を書かない場合とは、同じ内容の組み合わせが複数回カウントされるのを避ける方法です。例えば、3つの色のボールから2つを選ぶ問題で、色が重複して選ばれた場合、それを別々にカウントしないようにします。

このアプローチは、順序を考慮せずに組み合わせの数を求める場合に適しています。選択肢を重複して描かず、独立した組み合わせを計算することで、正しい答えにたどり着くことができます。

組み合わせの被りを「書く」場合

組み合わせの「被り」を書く場合とは、同じ選択肢を異なる経路で表現する方法です。例えば、順序を考慮して組み合わせを求める場合や、選択肢ごとに重複を明示する必要がある場合です。

この場合、樹形図には重複した選択肢が含まれることになりますが、問題が順序に依存している場合や、重複を考慮した計算が必要な場合に有効です。特に順列の問題や特定の制約条件を満たす問題においては、重複をあえて示して計算に含めることが求められます。

どちらの方法が適切か？

組み合わせの被りを描かない場合と描く場合は、問題のタイプによって異なります。順列や重複を許す場合には、被りを書きながら計算を進める必要がありますが、単純な組み合わせの問題であれば、被りを無視して計算する方が簡単で正確です。

例えば、3色のボールから2つを選ぶ問題で、順序が関係ない場合は被りを描かない方法を選ぶべきです。一方で、順序が関係する場合や同じ選択肢を複数回選ぶ場合には、被りを描く方法が適切です。

まとめ

樹形図における組み合わせの「被り」をどう扱うかは、問題が順序に依存するかどうか、また選択肢に重複があるかどうかによって異なります。組み合わせの問題を解く際には、問題の条件に合わせて適切に被りを扱うことが重要です。順番に関係しない場合は、被りを無視して計算を進める方が簡単で正確です。しかし、順番に関係する場合や重複を考慮する場合には、被りを示すことが必要となります。