数学の問題である不等式 3a(a-4)＜0 を解く方法について、よくある誤解や間違いを解消し、正しい解法を理解することが重要です。この問題では、式の展開と因数分解を用いることで解くことができます。
1. 不等式の展開と因数分解
まず、問題の式 3a(a-4)＜0 を展開します。
3a(a-4) = 3a^2 – 12a です。これを元に不等式は 3a^2 – 12a ＜ 0 となります。次に、両辺を3で割って簡単にします。
a^2 – 4a ＜ 0 となり、次にこの式を因数分解します。
a(a – 4) ＜ 0 となります。
2. 因数分解後の不等式を解く
次に、a(a – 4) ＜ 0 という不等式を解きます。これは、積が負であるためには一方が正で、もう一方が負でなければならないというルールに基づきます。
a が 0 より小さいとき、a – 4 は負、逆に a が 4 より大きいとき a – 4 は正です。a が 0 と 4 の間にあるときだけ、積が負になります。
3. 解の範囲と結論
したがって、不等式 a(a – 4) ＜ 0 を満たすのは、0 < a < 4 です。
つまり、解は a が 0 より大きく、4 より小さい範囲であるということです。
4. よくある間違いと注意点
質問者が誤って a＜0 と a＜4 という解を導いた理由は、因数分解後に不等式を誤って解釈してしまった可能性があります。特に、積が負になる条件を考慮せずに、個々の因数をそれぞれ不等式で解いてしまうことがあります。
この問題では、式の展開から因数分解、そして不等式の符号変化に注目することが重要です。
5. まとめ
不等式 3a(a-4)＜0 の解法は、展開して因数分解を行い、積が負になる範囲を求めることで解けます。最終的に、a は 0 より大きく、4 より小さい範囲であることがわかります。このような問題では、符号の変化に注意を払うことが大切です。
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