この問題では、不等式 KX² + (K+1)X + K ≦ 0 が成り立つ K の範囲を求めることに焦点を当てています。判別式 D = (K+1)² – 4K² を使い、解法の過程を詳しく解説します。
1. 判別式 D の導出
まず、与えられた二次不等式 KX² + (K+1)X + K ≦ 0 の判別式 D を求めます。D = (K+1)² – 4K² という式を展開すると、D = -3K² + 2K + 1 となります。この式を因数分解すると、D = -(3K + 1)(K – 1) となり、判別式の符号に注目する必要があります。
2. 不等式の解法
次に、D ≦ 0 の条件を満たす K の範囲を求めます。D = -(3K + 1)(K – 1) ≦ 0 という不等式を解くと、(3K + 1)(K – 1) ≧ 0 という形になります。この不等式を解くことで、K ≦ -1/3 または K ≧ 1 の範囲を得ることができます。
3. もう一つのアプローチ
解説にある通り、判別式 D の不等式から K ≦ -1/3 または K ≧ 1 という範囲が求まります。しかし、質問者が行った計算では、(K+1)² – 4K² を (1-K)(3K+1) と展開して、別の範囲を得ました。質問者の解法でも共通の範囲が取れるため、正しい解法として認められます。
4. 結論とポイント
最終的に、K の範囲は K ≦ -1/3 または K ≧ 1 となり、この範囲内で不等式 KX² + (K+1)X + K ≦ 0 が成り立ちます。解法の過程で判別式を正しく扱い、因数分解や不等式の解法に慣れることが大切です。
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