2直線の平行・垂直条件からaの値を求める方法：場合分けの解法

2つの直線「x+ay+1=0」と「ax+(a+2)y+3=0」が平行または垂直であるとき、aの値を求める問題の解き方を解説します。まず、平行条件と垂直条件を満たす場合分けの方法を順を追って見ていきます。

1. 直線の傾きを求める

まず、2つの直線の傾きを求めます。直線の方程式が一般的に「Ax+By+C=0」という形で与えられている場合、傾きは「-A/B」となります。

直線1「x+ay+1=0」をyについて解くと、y = -(1/a)x – 1/a となり、傾きは -1/a です。

直線2「ax+(a+2)y+3=0」もyについて解くと、y = -(a)x/(a+2) – 3/(a+2) となり、傾きは -a/(a+2) です。

平行な直線は、傾きが等しい条件を満たします。したがって、直線1と直線2が平行であるためには、傾きが等しいことが必要です。すなわち、次の式が成り立ちます。

-1/a = -a/(a+2)

この式を解くと、a^2 + 2a – 1 = 0 という2次方程式が得られます。この方程式を解くと、a = (-2±√(2^2-4×1×(-1)))/2×1 = (-2±√8)/2 = -1±√2 となります。

垂直な直線は、傾きの積が-1になる条件を満たします。したがって、直線1と直線2が垂直であるためには、次の式が成り立ちます。

(-1/a) × (-a/(a+2)) = -1

この式を解くと、1/(a+2) = 1 となり、a+2 = 1 からa = -1となります。

以上の結果から、直線が平行であるときのaの値はa = -1±√2、直線が垂直であるときのaの値はa = -1となります。

このように、2直線の平行と垂直条件を満たすaの値を求める問題では、まず直線の傾きを求め、平行条件や垂直条件を使って場合分けしながら解くことが重要です。数式の解法をしっかりと理解し、慎重に計算を進めましょう。