方程式 x|x－1|＝3x＋k の実数解の個数を求める方法

方程式 x|x－1|＝3x＋k の実数解の個数を求める問題は、絶対値を含む方程式を解く基本的な問題です。ここでは、絶対値を扱う際の方法と解法のステップを解説します。特に、kが実数の定数である場合における解法について詳しく説明します。

絶対値を含む方程式の解法

絶対値を含む方程式を解くためには、まずその絶対値が何を表しているのかを理解する必要があります。式 x|x－1|＝3x＋k において、絶対値|x－1|はxの値に応じて2つの場合に分けて考えることができます。

絶対値の性質により、x－1が正または負である場合で場合分けを行い、それぞれの場合で方程式を解くことになります。

場合分けの手順

まず、絶対値の中身である (x－1) を2つのケースで考えます。

• 1. x－1 ≥ 0 の場合（x ≥ 1）：この場合、|x－1| = x－1 となります。
• 2. x－1 < 0 の場合（x < 1）：この場合、|x－1| = -(x－1) = 1－x となります。

ケース1：x ≥ 1 の場合

x ≥ 1 の場合、方程式は次のように書き換えられます。

x(x－1) = 3x + k

これを展開すると。

x² – x = 3x + k

移項して整理すると。

x² – 4x – k = 0

この二次方程式を解くと、xの値が求められます。解の判別式を用いて実数解の個数を調べます。

ケース2：x < 1 の場合

x < 1 の場合、方程式は次のように書き換えられます。

x(1－x) = 3x + k

これを展開すると。

x – x² = 3x + k

移項して整理すると。

-x² – 2x – k = 0

この方程式も同様に解の判別式を用いて解の個数を調べます。

解の判別式と実数解の個数

解の判別式 D = b² – 4ac を使うことで、二次方程式の解の個数を求めることができます。

例えば、x² – 4x – k = 0 の場合、解の判別式 D は次のように求められます。

D = (-4)² – 4(1)(-k) = 16 + 4k

D > 0 ならば2つの実数解が存在し、D = 0 ならば1つの実数解、D < 0 ならば実数解は存在しません。

このようにして、kの値によって実数解の個数を決定することができます。

まとめ

方程式 x|x－1|＝3x＋k の解法では、絶対値を含むため場合分けが必要です。x ≥ 1 と x < 1 の2つの場合に分け、それぞれで二次方程式を解きます。最終的には解の判別式を使って実数解の個数を求めることができます。kの値に応じて解の個数が異なるため、具体的な値を代入して解を求めることが大切です。