関数f(x)=x²−2x−3の最小値と最大値の求め方

関数f(x)=x²−2x−3の最小値と最大値を求める方法について、0≦x≦aの範囲で場合分けしながら解説します。この問題では、関数が与えられた範囲内でどのように振る舞うかを理解することが重要です。

1. 関数f(x)=x²−2x−3の基本的な形

まず、関数f(x)=x²−2x−3は2次関数であり、標準的な形に近い式です。これをx²−2x−3の形で見ると、xの2乗項と定数項があり、y軸との交点を簡単に求めることができます。しかし、この関数の最小値と最大値を求めるには、まず微分を使って関数の挙動を調べる必要があります。

まず、関数f(x)=x²−2x−3を微分します。f'(x)=2x−2となります。この微分を0に設定して、xの値を求めます。すなわち、2x−2=0より、x=1となります。このx=1が極値となり、最小値または最大値を持つ点になります。次に、このx=1での関数の値を計算します。

f(1) = (1)²−2(1)−3 = 1−2−3 = −4です。つまり、x=1での関数の値は−4です。

次に、範囲0≦x≦aの境界値を確認します。x=0およびx=aでのf(x)の値を計算します。

f(0) = (0)²−2(0)−3 = −3、f(a) = (a)²−2(a)−3です。

これにより、x=0およびx=aでの関数の値を比較し、最小値と最大値を求めます。

最小値と最大値は次のように場合分けして求めることができます。

最終的に、最小値と最大値を求める際には、微分で得られたx=1の値と境界値を比較して決定します。

関数f(x)=x²−2x−3の最小値と最大値は、まず微分を使って極値x=1を求め、その後、与えられた範囲0≦x≦aでの境界値と比較して決定します。このように、場合分けを使うことで、範囲内での関数の挙動をより正確に理解することができます。