数学の問題で、二つの不等式を満たすx + yの最大値と最小値を求める問題があります。具体的には、x^2 + y^2 ≦ 10とy ≧ -2x + 5の二つの条件を満たすxとyの組み合わせで、x + yの最大値と最小値を求めるという問題です。この記事では、この問題の解法について詳しく解説し、特に疑問点に焦点を当てて説明します。
問題の設定と解法の概要
まず、与えられた二つの不等式を理解しましょう。x^2 + y^2 ≦ 10は、原点を中心とした半径√10の円の内部またはその上にx, yが存在することを示しています。そして、y ≧ -2x + 5は、直線y = -2x + 5以上の領域にx, yが存在することを示します。この二つの条件を満たす範囲を求めることが、この問題の主な目的です。
①なぜx + y = kをy = -x + kの形にするのか？
まず、x + y = kという直線を考えたとき、その直線は、xとyの和が常にkである点を結んだ直線です。この直線をy = -x + kという形にすることで、xについての一次方程式の形になります。yをxの関数として表現し、直線の傾きを比較するために、y = -x + kの形を使います。
直線の形にすることで、次にその直線と与えられた条件（円や直線との交点）を求めることができ、x + yの最大値と最小値を求めるための重要なステップとなります。
②なぜ傾きを比較して最小値が当たり前のように出てくるのか？
x + y = kという直線の傾きは-1です。y = -2x + 5という直線の傾きは-2です。これらの傾きを比較すると、-2の方が急勾配であることが分かります。したがって、最小値を求めるためには、最も急な傾きを持つ直線y = -2x + 5との交点を探し、その交点でx + yが最小になることが分かります。
最小値は、与えられた領域の境界でx + yの値が最小になるため、直線の交点における値を計算することによって求められます。この場合、直線と円が接する点で最小値が決まるため、最小値は自然に求まります。
最大値と最小値の計算
最大値と最小値は、与えられた円と直線が交わる点で計算することができます。これらの交点を求めるために、直線y = -2x + 5と円x^2 + y^2 = 10の連立方程式を解くことが必要です。
まず、y = -2x + 5を円の方程式x^2 + y^2 = 10に代入して解くと、交点が得られます。計算により、交点の座標が得られ、その座標を使ってx + yの最大値と最小値を求めることができます。
まとめ
この問題では、二つの不等式を満たす範囲を求めるために、直線の形にして傾きを比較し、交点を求めることが重要です。x + y = kの直線をy = -x + kの形にすることで、問題を解きやすくし、最小値と最大値を計算できます。傾きの比較から、最小値は自然に決まることが理解できたでしょう。最終的に、最大値と最小値を求めるためには、交点の計算が重要なステップとなります。
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