高校数学の問題で、「正の数a、bがab = 6を満たす時、3a + 8bの最小値を求めよ」という問題があります。この問題を解くためには、最適化の考え方を用いてaとbの関係を整理し、最小値を求めることがポイントです。この記事ではその解法を解説します。
問題の整理と目標
与えられた条件は、aとbが正の数で、ab = 6を満たすことです。求めるのは、式3a + 8bの最小値です。このような問題では、まず式に含まれる変数aとbの関係を見つけ、最小値を求める方法を考えます。
aとbの関係を式に代入する
まず、ab = 6という条件を使って、bをaの式に表現します。ab = 6より、b = 6 / aとなります。
次に、求める式3a + 8bにb = 6 / aを代入すると、3a + 8b = 3a + 8(6 / a) = 3a + 48 / aとなります。これで、3a + 8bがaだけの式に変換できました。
微分を使って最小値を求める
次に、この式3a + 48 / aの最小値を求めるために、微分を使ってaの最適な値を求めます。まず、3a + 48 / aの導関数を求めます。
f'(a) = 3 - 48 / a^2
次に、f'(a) = 0となるaの値を求めます。
3 - 48 / a^2 = 0
この式を解くと、a^2 = 16、したがってa = 4となります。
a = 4の時のbの値を求める
a = 4を使って、bの値を求めます。ab = 6より、b = 6 / a = 6 / 4 = 3/2です。
したがって、a = 4、b = 3/2のとき、3a + 8bの値を計算します。
3a + 8b = 3(4) + 8(3/2) = 12 + 12 = 24
最小値の確認
次に、a = 4、b = 3/2が最小値を与えるかを確認します。二次関数の導関数を用いた解法では、a = 4の時が最小値となることが保証されています。
まとめ
この問題では、ab = 6という条件を使ってbをaの式で表し、式3a + 8bを最適化しました。微分を用いてaの値を求め、最小値が24であることが確認できました。このように、式の最適化には微分が有効であることが分かります。
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