大学受験における数学の問題は、論理的思考力と計算力を問われるものが多いです。この記事では、東工大2006後期の数学問題を取り上げ、自然数a, b, cが満たす関係式から、aを求める方法をわかりやすく解説します。
問題の設定と式の整理
与えられた問題は、自然数a, b, cが次の関係を満たすというものです。
- 3a = b^3 …(①)
- 5a = c^2 …(②)
また、d^6がaを割り切る自然数dはd=1に限るとされています。これをもとに、aの性質を順を追って解いていきます。
（1）aが3と5で割り切れることの証明
最初に、aが3と5で割り切れることを示します。式①と②から、それぞれaがどのような形で表現されるのかを考えます。まず、①式からaがb^3で表され、②式からaがc^2で表されることから、aがどのような素因数を持つのかを分析します。これにより、aが3と5の両方で割り切れることが示されます。
（2）aの素因数は3と5以外にないことの証明
次に、aが3と5以外の素因数を持たないことを示します。背理法を使って、aが3と5以外の素因数pを持つと仮定します。すると、aは3^s × 5^t × p^nの形で表されることになります。この仮定をもとに、式①と②に代入して計算を進め、pの条件を導き出すことで、aに3と5以外の素因数が含まれないことがわかります。
（3）aの具体的な値の求め方
最後に、aの具体的な値を求めます。これまでに得た情報をもとに、aがどのような数であるかを特定します。式①と②を用いて、aの最終的な値を計算し、aが具体的にどのような自然数であるかを導きます。
まとめ
この記事では、東工大2006後期の数学問題を解くために、自然数a, b, cが満たす関係式からaを求める方法を詳細に解説しました。背理法を使った素因数の証明や、式を代入していく過程をしっかりと理解することが重要です。これらの技法を活用すれば、他の類似の問題にも対応できるようになります。
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