数学の同値変形について｜式を両辺二乗しても同値変形になる理由

高校数学の問題で、式を両辺二乗することで同値変形を行うことができます。しかし、なぜそれが成り立つのか、具体的な理由が分からないこともありますよね。この記事では、両辺を二乗した際に同値変形が成り立つ理由を詳しく解説します。

問題設定：式を両辺二乗する意味

問題は次のような式です。

2x – 1 = √7i として、x = 1 + √7i / 2の場合に、なぜこの式を両辺二乗しても同値変形になるのか、という質問です。

両辺を二乗することは、簡単な計算方法に見えるかもしれませんが、実際にはその過程でいくつかの重要な注意点があります。

式 2x – 1 = √7i を両辺二乗すると、以下のようになります。

(2x – 1)² = (√7i)²

このとき、左辺は二項展開が行われ、右辺は √7i の二乗なので、数値に変換できます。この場合、両辺に関していくつかの計算ステップが必要ですが、数学的に見ると、同値変形である理由は、両辺の形が一致しているからです。

左辺の (2x – 1)² という式は、x の値を求めるために展開して計算できるので、x の値を求めることが可能になります。

しかし、両辺を二乗した後には、「負の解」が含まれる可能性があります。例えば、式 √7i を二乗した場合、iのような虚数が含まれることがわかります。このとき、どの解を採用するべきかを慎重に判断する必要があります。

例えば、x = 1 + √7i / 2 とした場合に、虚数部分を含む解がどのように計算に影響するかをしっかり理解しておくことが重要です。

式の両辺を二乗することは基本的な数学的操作の一つであり、解を求めるための有効な方法です。しかし、その際には数学的な理論をしっかり理解し、どの解が正しいのかを見極めることが大切です。特に虚数を含む問題では、解の選択に注意が必要です。

このように、式を両辺二乗して同値変形を行うことができる理由は、計算の過程に基づいた論理的な操作だからです。問題を解くために必要な知識をしっかり身につけていきましょう！